פתור את {l}{x+2y=16}{2x+3y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 16 } \\ { 2 x + 3 y = 17 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-14$$

$$y=15$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=16$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y+16$$

השתמש ב- ‎-2y+16 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+3y=17.

$$2\left(-2y+16\right)+3y=17$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2y+16.

$$-4y+32+3y=17$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎3y.

$$-y+32=17$$

החסר ‎32 משני אגפי המשוואה.

$$-y=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=15$$

השתמש ב- ‎15 במקום y ב- ‎x=-2y+16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times 15+16$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎15.

$$x=-30+16$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-30.

$$x=-14$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-14,y=15$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{1}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 16+2\times 17\\2\times 16-17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\15\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-14,y=15$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2\times 2y=2\times 16,2x+3y=17$$

פשט.

$$2x+4y=32,2x+3y=17$$

החסר את ‎2x+3y=17 מ- ‎2x+4y=32 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+4y-3y=32-17$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y-3y=32-17$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-3y.

$$y=32-17$$

הוסף את ‎32 ל- ‎-17.

$$y=15$$

השתמש ב- ‎15 במקום y ב- ‎2x+3y=17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+3\times 15=17$$

הכפל את ‎3 ב- ‎15.

$$2x+45=17$$

החסר ‎45 משני אגפי המשוואה.

$$2x=-28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-14$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-14,y=15$$