פתור את {l}{x+2y=15}{x-2y=-7}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 15 } \\ { x - 2 y = - 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=15,x-2y=-7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=15$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y+15$$

השתמש ב- ‎-2y+15 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-2y=-7.

$$-2y+15-2y=-7$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-2y.

$$-4y+15=-7$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$-4y=-22$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=\frac{11}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{11}{2} במקום y ב- ‎x=-2y+15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times \frac{11}{2}+15$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{11}{2}.

$$x=-11+15$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-11.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=\frac{11}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=15,x-2y=-7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{2}{-2-2}\\-\frac{1}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\left(-7\right)\\\frac{1}{4}\times 15-\frac{1}{4}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\\frac{11}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=\frac{11}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=15,x-2y=-7$$

החסר את ‎x-2y=-7 מ- ‎x+2y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-x+2y+2y=15+7$$

הוסף את ‎x ל- ‎-x. האיברים ‎x ו- ‎-x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y+2y=15+7$$

הוסף את ‎2y ל- ‎2y.

$$4y=15+7$$

הוסף את ‎15 ל- ‎7.

$$4y=22$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=\frac{11}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{11}{2} במקום y ב- ‎x-2y=-7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-2\times \frac{11}{2}=-7$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{11}{2}.

$$x-11=-7$$

הוסף ‎11 לשני אגפי המשוואה.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=\frac{11}{2}$$