פתור את {l}{x+2y=11}{x-5y=-17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 11 } \\ { x - 5 y = - 17 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=11,x-5y=-17$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=11$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y+11$$

השתמש ב- ‎-2y+11 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-5y=-17.

$$-2y+11-5y=-17$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-5y.

$$-7y+11=-17$$

החסר ‎11 משני אגפי המשוואה.

$$-7y=-28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=-2y+11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times 4+11$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎4.

$$x=-8+11$$

הוסף את ‎11 ל- ‎-8.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=11,x-5y=-17$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2}&-\frac{2}{-5-2}\\-\frac{1}{-5-2}&\frac{1}{-5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 11+\frac{2}{7}\left(-17\right)\\\frac{1}{7}\times 11-\frac{1}{7}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=11,x-5y=-17$$

החסר את ‎x-5y=-17 מ- ‎x+2y=11 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-x+2y+5y=11+17$$

הוסף את ‎x ל- ‎-x. האיברים ‎x ו- ‎-x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y+5y=11+17$$

הוסף את ‎2y ל- ‎5y.

$$7y=11+17$$

הוסף את ‎11 ל- ‎17.

$$7y=28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x-5y=-17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-5\times 4=-17$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎4.

$$x-20=-17$$

הוסף ‎20 לשני אגפי המשוואה.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=4$$