פתור את {l}{x+2y=10}{3y-2x=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 10 } \\ { 3 y - 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=10$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y+10$$

השתמש ב- ‎-2y+10 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x+3y=5.

$$-2\left(-2y+10\right)+3y=5$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-2y+10.

$$4y-20+3y=5$$

הוסף את ‎4y ל- ‎3y.

$$7y-20=5$$

הוסף ‎20 לשני אגפי המשוואה.

$$7y=25$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$y=\frac{25}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{25}{7} במקום y ב- ‎x=-2y+10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times \frac{25}{7}+10$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{25}{7}.

$$x=-\frac{50}{7}+10$$

הוסף את ‎10 ל- ‎-\frac{50}{7}.

$$x=\frac{20}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3-2\left(-2\right)}&\frac{1}{3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10-\frac{2}{7}\times 5\\\frac{2}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-2x-2\times 2y=-2\times 10,-2x+3y=5$$

פשט.

$$-2x-4y=-20,-2x+3y=5$$

החסר את ‎-2x+3y=5 מ- ‎-2x-4y=-20 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2x+2x-4y-3y=-20-5$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎2x. האיברים ‎-2x ו- ‎2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4y-3y=-20-5$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎-3y.

$$-7y=-20-5$$

הוסף את ‎-20 ל- ‎-5.

$$-7y=-25$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=\frac{25}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{25}{7} במקום y ב- ‎-2x+3y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-2x+3\times \frac{25}{7}=5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{25}{7}.

$$-2x+\frac{75}{7}=5$$

החסר ‎\frac{75}{7} משני אגפי המשוואה.

$$-2x=-\frac{40}{7}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=\frac{20}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$