פתור את {l}{x+2y=1}{y=4x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} \approx 1.222222222$$

$$y=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$y-4x=-5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=1$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y+1$$

השתמש ב- ‎-2y+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x+y=-5.

$$-4\left(-2y+1\right)+y=-5$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-2y+1.

$$8y-4+y=-5$$

הוסף את ‎8y ל- ‎y.

$$9y-4=-5$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$9y=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{9} במקום y ב- ‎x=-2y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\left(-\frac{1}{9}\right)+1$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-\frac{1}{9}.

$$x=\frac{2}{9}+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎\frac{2}{9}.

$$x=\frac{11}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$y-4x=-5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{1-2\left(-4\right)}&\frac{1}{1-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}-\frac{2}{9}\left(-5\right)\\\frac{4}{9}+\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{9}\\-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$y-4x=-5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-4x-4\times 2y=-4,-4x+y=-5$$

פשט.

$$-4x-8y=-4,-4x+y=-5$$

החסר את ‎-4x+y=-5 מ- ‎-4x-8y=-4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-4x+4x-8y-y=-4+5$$

הוסף את ‎-4x ל- ‎4x. האיברים ‎-4x ו- ‎4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-8y-y=-4+5$$

הוסף את ‎-8y ל- ‎-y.

$$-9y=-4+5$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎5.

$$-9y=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{9} במקום y ב- ‎-4x+y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-4x-\frac{1}{9}=-5$$

הוסף ‎\frac{1}{9} לשני אגפי המשוואה.

$$-4x=-\frac{44}{9}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=\frac{11}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$