פתור את {l}{x+2y=-8}{y=-3/2x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = - 8 } \\ { y = - \frac { 3 } { 2 } x - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{3}{2}x משני הצדדים.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=-8$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y-8$$

השתמש ב- ‎-2y-8 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\frac{3}{2}x+y=-2.

$$\frac{3}{2}\left(-2y-8\right)+y=-2$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎-2y-8.

$$-3y-12+y=-2$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎y.

$$-2y-12=-2$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$-2y=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום y ב- ‎x=-2y-8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\left(-5\right)-8$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-5.

$$x=10-8$$

הוסף את ‎-8 ל- ‎10.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{3}{2}x משני הצדדים.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}&-\frac{2}{1-2\times \frac{3}{2}}\\-\frac{\frac{3}{2}}{1-2\times \frac{3}{2}}&\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-8\right)-2\\\frac{3}{4}\left(-8\right)-\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{3}{2}x משני הצדדים.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎\frac{3x}{2} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{3}{2} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\times 2y=\frac{3}{2}\left(-8\right),\frac{3}{2}x+y=-2$$

פשט.

$$\frac{3}{2}x+3y=-12,\frac{3}{2}x+y=-2$$

החסר את ‎\frac{3}{2}x+y=-2 מ- ‎\frac{3}{2}x+3y=-12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}x+3y-y=-12+2$$

הוסף את ‎\frac{3x}{2} ל- ‎-\frac{3x}{2}. האיברים ‎\frac{3x}{2} ו- ‎-\frac{3x}{2} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y-y=-12+2$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-y.

$$2y=-12+2$$

הוסף את ‎-12 ל- ‎2.

$$2y=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום y ב- ‎\frac{3}{2}x+y=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\frac{3}{2}x-5=-2$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{2}x=3$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-5$$