פתור את {l}{x+2y+3=0}{4x+5y+6=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 5 y + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y+3=0$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$x+2y=-3$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y-3$$

השתמש ב- ‎-2y-3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+5y+6=0.

$$4\left(-2y-3\right)+5y+6=0$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-2y-3.

$$-8y-12+5y+6=0$$

הוסף את ‎-8y ל- ‎5y.

$$-3y-12+6=0$$

הוסף את ‎-12 ל- ‎6.

$$-3y-6=0$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$-3y=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=-2y-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\left(-2\right)-3$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-2.

$$x=4-3$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎4.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{1}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\left(-3\right)+\frac{2}{3}\left(-6\right)\\\frac{4}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$4x+4\times 2y+4\times 3=0,4x+5y+6=0$$

פשט.

$$4x+8y+12=0,4x+5y+6=0$$

החסר את ‎4x+5y+6=0 מ- ‎4x+8y+12=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x+8y-5y+12-6=0$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8y-5y+12-6=0$$

הוסף את ‎8y ל- ‎-5y.

$$3y+12-6=0$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-6.

$$3y+6=0$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$3y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎4x+5y+6=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+5\left(-2\right)+6=0$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-2.

$$4x-10+6=0$$

הוסף את ‎-10 ל- ‎6.

$$4x-4=0$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$4x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-2$$