פתור את {l}{x+15=y}{4x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 15 = y } \\ { 4 x = y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=20$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x+15-y=0$$

החסר ‎15 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-y=-15$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$4x-y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-y=-15$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$x=y-15$$

השתמש ב- ‎y-15 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-y=0.

$$4\left(y-15\right)-y=0$$

הכפל את ‎4 ב- ‎y-15.

$$4y-60-y=0$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-y.

$$3y-60=0$$

הוסף ‎60 לשני אגפי המשוואה.

$$3y=60$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=20$$

השתמש ב- ‎20 במקום y ב- ‎x=y-15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=20-15$$

הוסף את ‎-15 ל- ‎20.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=20$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x+15-y=0$$

החסר ‎15 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-y=-15$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$4x-y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-15\right)\\-\frac{4}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=20$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x+15-y=0$$

החסר ‎15 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-y=-15$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$4x-y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

החסר את ‎4x-y=0 מ- ‎x-y=-15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-4x-y+y=-15$$

הוסף את ‎-y ל- ‎y. האיברים ‎-y ו- ‎y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x-4x=-15$$

הוסף את ‎x ל- ‎-4x.

$$-3x=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום x ב- ‎4x-y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$4\times 5-y=0$$

הכפל את ‎4 ב- ‎5.

$$20-y=0$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$-y=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=20$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=20$$