פתור את {l}{t+2s=-1}{s=t+10}

$$\left. \begin{array} { l } { t + 2 s = - 1 } \\ { s = t + 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור t, s

$$t=-7$$

$$s=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎t משני האגפים.

$$s-t=10$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור t על-ידי בידוד t בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$t+2s=-1$$

החסר ‎2s משני אגפי המשוואה.

$$t=-2s-1$$

השתמש ב- ‎-2s-1 במקום ‎t במשוואה השניה, ‎-t+s=10.

$$-\left(-2s-1\right)+s=10$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-2s-1.

$$2s+1+s=10$$

הוסף את ‎2s ל- ‎s.

$$3s+1=10$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$3s=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$s=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום s ב- ‎t=-2s-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את t ישירות.

$$t=-2\times 3-1$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎3.

$$t=-6-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎-6.

$$t=-7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$t=-7,s=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎t משני האגפים.

$$s-t=10$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{2}{3}\times 10\\\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה t ו- s.

$$t=-7,s=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎t משני האגפים.

$$s-t=10$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

כדי להפוך את ‎t ו- ‎-t לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-t-2s=-\left(-1\right),-t+s=10$$

פשט.

$$-t-2s=1,-t+s=10$$

החסר את ‎-t+s=10 מ- ‎-t-2s=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-t+t-2s-s=1-10$$

הוסף את ‎-t ל- ‎t. האיברים ‎-t ו- ‎t מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2s-s=1-10$$

הוסף את ‎-2s ל- ‎-s.

$$-3s=1-10$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-10.

$$-3s=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$s=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום s ב- ‎-t+s=10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את t ישירות.

$$-t+3=10$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$-t=7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$t=-7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$t=-7,s=3$$