פתור את {l}{p+b=130}{p+1.09b=136.75}

$$\left. \begin{array} { l } { p + b = 130 } \\ { p + 1.09 b = 136.75 } \end{array} \right.$$

פתור עבור p, b

$$p=55$$

$$b=75$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור p על-ידי בידוד p בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$p+b=130$$

החסר ‎b משני אגפי המשוואה.

$$p=-b+130$$

השתמש ב- ‎-b+130 במקום ‎p במשוואה השניה, ‎p+1.09b=136.75.

$$-b+130+1.09b=136.75$$

הוסף את ‎-b ל- ‎\frac{109b}{100}.

$$0.09b+130=136.75$$

החסר ‎130 משני אגפי המשוואה.

$$0.09b=6.75$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.09, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$b=75$$

השתמש ב- ‎75 במקום b ב- ‎p=-b+130. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את p ישירות.

$$p=-75+130$$

הוסף את ‎130 ל- ‎-75.

$$p=55$$

המערכת נפתרה כעת.

$$p=55,b=75$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.09}{1.09-1}&-\frac{1}{1.09-1}\\-\frac{1}{1.09-1}&\frac{1}{1.09-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{109}{9}&-\frac{100}{9}\\-\frac{100}{9}&\frac{100}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{109}{9}\times 130-\frac{100}{9}\times 136.75\\-\frac{100}{9}\times 130+\frac{100}{9}\times 136.75\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\75\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה p ו- b.

$$p=55,b=75$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

החסר את ‎p+1.09b=136.75 מ- ‎p+b=130 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$p-p+b-1.09b=130-136.75$$

הוסף את ‎p ל- ‎-p. האיברים ‎p ו- ‎-p מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$b-1.09b=130-136.75$$

הוסף את ‎b ל- ‎-\frac{109b}{100}.

$$-0.09b=130-136.75$$

הוסף את ‎130 ל- ‎-136.75.

$$-0.09b=-6.75$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-0.09, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$b=75$$

השתמש ב- ‎75 במקום b ב- ‎p+1.09b=136.75. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את p ישירות.

$$p+1.09\times 75=136.75$$

הכפל את ‎1.09 ב- ‎75.

$$p+81.75=136.75$$

החסר ‎81.75 משני אגפי המשוואה.

$$p=55$$

המערכת נפתרה כעת.

$$p=55,b=75$$