פתור את {l}{p+2q=4}{-3p+4q=18}

$$\left. \begin{array} { l } { p + 2 q = 4 } \\ { - 3 p + 4 q = 18 } \end{array} \right.$$

פתור עבור p, q

$$p=-2$$

$$q=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור p על-ידי בידוד p בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$p+2q=4$$

החסר ‎2q משני אגפי המשוואה.

$$p=-2q+4$$

השתמש ב- ‎-2q+4 במקום ‎p במשוואה השניה, ‎-3p+4q=18.

$$-3\left(-2q+4\right)+4q=18$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-2q+4.

$$6q-12+4q=18$$

הוסף את ‎6q ל- ‎4q.

$$10q-12=18$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$10q=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$q=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום q ב- ‎p=-2q+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את p ישירות.

$$p=-2\times 3+4$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎3.

$$p=-6+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-6.

$$p=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$p=-2,q=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-2\left(-3\right)}&\frac{1}{4-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה p ו- q.

$$p=-2,q=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

כדי להפוך את ‎p ו- ‎-3p לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-3p-3\times 2q=-3\times 4,-3p+4q=18$$

פשט.

$$-3p-6q=-12,-3p+4q=18$$

החסר את ‎-3p+4q=18 מ- ‎-3p-6q=-12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-3p+3p-6q-4q=-12-18$$

הוסף את ‎-3p ל- ‎3p. האיברים ‎-3p ו- ‎3p מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6q-4q=-12-18$$

הוסף את ‎-6q ל- ‎-4q.

$$-10q=-12-18$$

הוסף את ‎-12 ל- ‎-18.

$$-10q=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$q=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום q ב- ‎-3p+4q=18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את p ישירות.

$$-3p+4\times 3=18$$

הכפל את ‎4 ב- ‎3.

$$-3p+12=18$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$-3p=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$p=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$p=-2,q=3$$