פתור את {l}{n+y=4}{2n+3y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { n + y = 4 } \\ { 2 n + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

פתור עבור n, y

$$y=4$$

$$n=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור n על-ידי בידוד n בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$n+y=4$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$n=-y+4$$

השתמש ב- ‎-y+4 במקום ‎n במשוואה השניה, ‎2n+3y=12.

$$2\left(-y+4\right)+3y=12$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-y+4.

$$-2y+8+3y=12$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎3y.

$$y+8=12$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎n=-y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את n ישירות.

$$n=-4+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-4.

$$n=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$n=0,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 4-12\\-2\times 4+12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה n ו- y.

$$n=0,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

כדי להפוך את ‎n ו- ‎2n לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2n+2y=2\times 4,2n+3y=12$$

פשט.

$$2n+2y=8,2n+3y=12$$

החסר את ‎2n+3y=12 מ- ‎2n+2y=8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2n-2n+2y-3y=8-12$$

הוסף את ‎2n ל- ‎-2n. האיברים ‎2n ו- ‎-2n מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y-3y=8-12$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-3y.

$$-y=8-12$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-12.

$$-y=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎2n+3y=12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את n ישירות.

$$2n+3\times 4=12$$

הכפל את ‎3 ב- ‎4.

$$2n+12=12$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$2n=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$n=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$n=0,y=4$$