פתור את {l}{mx-y-3m+1=0}{x+my-3m-1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - y - 3 m + 1 = 0 } \\ { x + m y - 3 m - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$mx-y+1-3m=0$$

החסר ‎-3m+1 משני אגפי המשוואה.

$$mx-y=3m-1$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$mx=y+3m-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎m.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{m} ב- ‎y+3m-1.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

השתמש ב- ‎\frac{y-1+3m}{m} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+my-3m-1=0.

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

הוסף את ‎\frac{y}{m} ל- ‎my.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

הוסף את ‎3-\frac{1}{m} ל- ‎-3m-1.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

החסר ‎2-\frac{1}{m}-3m משני אגפי המשוואה.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎m+\frac{1}{m}.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

השתמש ב- ‎\frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} במקום y ב- ‎x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

הכפל את ‎\frac{1}{m} ב- ‎\frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

הוסף את ‎3-\frac{1}{m} ל- ‎\frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

כדי להפוך את ‎mx ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎m.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

פשט.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

החסר את ‎mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 מ- ‎mx-y+1-3m=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

הוסף את ‎mx ל- ‎-mx. האיברים ‎mx ו- ‎-mx מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

הוסף את ‎-y ל- ‎-m^{2}y.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

הוסף את ‎-3m+1 ל- ‎m\left(3m+1\right).

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

החסר ‎-2m+1+3m^{2} משני אגפי המשוואה.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1-m^{2}.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} במקום y ב- ‎x+my-3m-1=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

הכפל את ‎m ב- ‎-\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

הוסף את ‎-\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} ל- ‎-3m-1.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}=0$$

הוסף ‎\frac{2m+3m^{2}+1}{1+m^{2}} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$