פתור את {l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

הוסף ‎ny לשני אגפי המשוואה.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎m.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{m} ב- ‎ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

השתמש ב- ‎\frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

הוסף את ‎\frac{ny}{m} ל- ‎y.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

החסר ‎m+\frac{n^{2}}{m} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

חלק את שני האגפים ב- ‎\frac{m+n}{m}.

$$y=m-n$$

השתמש ב- ‎m-n במקום y ב- ‎x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

הכפל את ‎\frac{n}{m} ב- ‎m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

הוסף את ‎m+\frac{n^{2}}{m} ל- ‎\frac{n\left(m-n\right)}{m}.

$$x=m+n$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=m+n,y=m-n$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=m+n,y=m-n$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

כדי להפוך את ‎mx ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎m.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

פשט.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

החסר את ‎mx+my=2m^{2} מ- ‎mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

הוסף את ‎mx ל- ‎-mx. האיברים ‎mx ו- ‎-mx מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

הוסף את ‎-ny ל- ‎-my.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

הוסף את ‎m^{2}+n^{2} ל- ‎-2m^{2}.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-m-n.

$$y=m-n$$

השתמש ב- ‎m-n במקום y ב- ‎x+y=2m. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+m-n=2m$$

החסר ‎m-n משני אגפי המשוואה.

$$x=m+n$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=m+n,y=m-n$$