פתור את {l}{m-3n=1}{m+3n=5}

$$\left. \begin{array} { l } { m - 3 n = 1 } \\ { m + 3 n = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור m, n

$$m=3$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$m-3n=1,m+3n=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור m על-ידי בידוד m בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$m-3n=1$$

הוסף ‎3n לשני אגפי המשוואה.

$$m=3n+1$$

השתמש ב- ‎3n+1 במקום ‎m במשוואה השניה, ‎m+3n=5.

$$3n+1+3n=5$$

הוסף את ‎3n ל- ‎3n.

$$6n+1=5$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$6n=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$n=\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{2}{3} במקום n ב- ‎m=3n+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m=3\times \frac{2}{3}+1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{2}{3}.

$$m=2+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎2.

$$m=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=3,n=\frac{2}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$m-3n=1,m+3n=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה m ו- n.

$$m=3,n=\frac{2}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$m-3n=1,m+3n=5$$

החסר את ‎m+3n=5 מ- ‎m-3n=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$m-m-3n-3n=1-5$$

הוסף את ‎m ל- ‎-m. האיברים ‎m ו- ‎-m מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3n-3n=1-5$$

הוסף את ‎-3n ל- ‎-3n.

$$-6n=1-5$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-5.

$$-6n=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$n=\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{2}{3} במקום n ב- ‎m+3n=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m+3\times \frac{2}{3}=5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{2}{3}.

$$m+2=5$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$m=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=3,n=\frac{2}{3}$$