פתור את {l}{m+n=1}{2n-3m=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { m + n = 1 } \\ { 2 n - 3 m = - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור m, n

$$m=\frac{4}{5}=0.8$$

$$n=\frac{1}{5}=0.2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור m על-ידי בידוד m בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$m+n=1$$

החסר ‎n משני אגפי המשוואה.

$$m=-n+1$$

השתמש ב- ‎-n+1 במקום ‎m במשוואה השניה, ‎-3m+2n=-2.

$$-3\left(-n+1\right)+2n=-2$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-n+1.

$$3n-3+2n=-2$$

הוסף את ‎3n ל- ‎2n.

$$5n-3=-2$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$5n=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$n=\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{5} במקום n ב- ‎m=-n+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m=-\frac{1}{5}+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-\frac{1}{5}.

$$m=\frac{4}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה m ו- n.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

כדי להפוך את ‎m ו- ‎-3m לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-3m-3n=-3,-3m+2n=-2$$

החסר את ‎-3m+2n=-2 מ- ‎-3m-3n=-3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-3m+3m-3n-2n=-3+2$$

הוסף את ‎-3m ל- ‎3m. האיברים ‎-3m ו- ‎3m מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3n-2n=-3+2$$

הוסף את ‎-3n ל- ‎-2n.

$$-5n=-3+2$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎2.

$$-5n=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$n=\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{5} במקום n ב- ‎-3m+2n=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$-3m+2\times \frac{1}{5}=-2$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{1}{5}.

$$-3m+\frac{2}{5}=-2$$

החסר ‎\frac{2}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-3m=-\frac{12}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$m=\frac{4}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$