פתור את {l}{m+n=-1}{2n-3m=2}

$$\left. \begin{array} { l } { m + n = - 1 } \\ { 2 n - 3 m = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור m, n

$$m=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$n=-\frac{1}{5}=-0.2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$m+n=-1,-3m+2n=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור m על-ידי בידוד m בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$m+n=-1$$

החסר ‎n משני אגפי המשוואה.

$$m=-n-1$$

השתמש ב- ‎-n-1 במקום ‎m במשוואה השניה, ‎-3m+2n=2.

$$-3\left(-n-1\right)+2n=2$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-n-1.

$$3n+3+2n=2$$

הוסף את ‎3n ל- ‎2n.

$$5n+3=2$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$5n=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$n=-\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{5} במקום n ב- ‎m=-n-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m=-\left(-\frac{1}{5}\right)-1$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-\frac{1}{5}.

$$m=\frac{1}{5}-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎\frac{1}{5}.

$$m=-\frac{4}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=-\frac{4}{5},n=-\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$m+n=-1,-3m+2n=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-1\right)-\frac{1}{5}\times 2\\\frac{3}{5}\left(-1\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה m ו- n.

$$m=-\frac{4}{5},n=-\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$m+n=-1,-3m+2n=2$$

כדי להפוך את ‎m ו- ‎-3m לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-3m-3n=-3\left(-1\right),-3m+2n=2$$

פשט.

$$-3m-3n=3,-3m+2n=2$$

החסר את ‎-3m+2n=2 מ- ‎-3m-3n=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-3m+3m-3n-2n=3-2$$

הוסף את ‎-3m ל- ‎3m. האיברים ‎-3m ו- ‎3m מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3n-2n=3-2$$

הוסף את ‎-3n ל- ‎-2n.

$$-5n=3-2$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-2.

$$-5n=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$n=-\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{5} במקום n ב- ‎-3m+2n=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$-3m+2\left(-\frac{1}{5}\right)=2$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{1}{5}.

$$-3m-\frac{2}{5}=2$$

הוסף ‎\frac{2}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$-3m=\frac{12}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$m=-\frac{4}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=-\frac{4}{5},n=-\frac{1}{5}$$