פתור את {l}{m+5n=15}{2/5m-n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { m + 5 n = 15 } \\ { \frac { 2 } { 5 } m - n = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור m, n

$$m=10$$

$$n=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$m+5n=15,\frac{2}{5}m-n=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור m על-ידי בידוד m בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$m+5n=15$$

החסר ‎5n משני אגפי המשוואה.

$$m=-5n+15$$

השתמש ב- ‎-5n+15 במקום ‎m במשוואה השניה, ‎\frac{2}{5}m-n=3.

$$\frac{2}{5}\left(-5n+15\right)-n=3$$

הכפל את ‎\frac{2}{5} ב- ‎-5n+15.

$$-2n+6-n=3$$

הוסף את ‎-2n ל- ‎-n.

$$-3n+6=3$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$-3n=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$n=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום n ב- ‎m=-5n+15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m=-5+15$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-5.

$$m=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=10,n=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$m+5n=15,\frac{2}{5}m-n=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5\times \frac{2}{5}}&-\frac{5}{-1-5\times \frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-1-5\times \frac{2}{5}}&\frac{1}{-1-5\times \frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15+\frac{5}{3}\times 3\\\frac{2}{15}\times 15-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה m ו- n.

$$m=10,n=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$m+5n=15,\frac{2}{5}m-n=3$$

כדי להפוך את ‎m ו- ‎\frac{2m}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{2}{5} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$\frac{2}{5}m+\frac{2}{5}\times 5n=\frac{2}{5}\times 15,\frac{2}{5}m-n=3$$

פשט.

$$\frac{2}{5}m+2n=6,\frac{2}{5}m-n=3$$

החסר את ‎\frac{2}{5}m-n=3 מ- ‎\frac{2}{5}m+2n=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{2}{5}m-\frac{2}{5}m+2n+n=6-3$$

הוסף את ‎\frac{2m}{5} ל- ‎-\frac{2m}{5}. האיברים ‎\frac{2m}{5} ו- ‎-\frac{2m}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2n+n=6-3$$

הוסף את ‎2n ל- ‎n.

$$3n=6-3$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-3.

$$3n=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$n=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום n ב- ‎\frac{2}{5}m-n=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$\frac{2}{5}m-1=3$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{2}{5}m=4$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{2}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$m=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=10,n=1$$