פתור את {l}{k+ym=mg+x}{y=mx-ma}

$$\left. \begin{array} { l } { k + y m = m g + x } \\ { y = m x - m a } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}\text{, }y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}}\text{, }&|m|\neq 1\\x=my-gm+k\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(k=a-g\text{ and }m=-1\right)\text{ or }\left(k=a+g\text{ and }m=1\right)\end{matrix}\right.$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎x משני האגפים.

$$k+ym-x=mg$$

החסר ‎k משני האגפים.

$$ym-x=mg-k$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎mx משני האגפים.

$$y-mx=-ma$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$my-x=gm-k$$

הוסף ‎x לשני אגפי המשוואה.

$$my=x+gm-k$$

חלק את שני האגפים ב- ‎m.

$$y=\frac{1}{m}\left(x+gm-k\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{m} ב- ‎x+mg-k.

$$y=\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}$$

השתמש ב- ‎\frac{x-k+mg}{m} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y+\left(-m\right)x=-am.

$$\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}+\left(-m\right)x=-am$$

הוסף את ‎\frac{x}{m} ל- ‎-mx.

$$\left(-m+\frac{1}{m}\right)x+g-\frac{k}{m}=-am$$

החסר ‎g-\frac{k}{m} משני אגפי המשוואה.

$$\left(-m+\frac{1}{m}\right)x=-am-g+\frac{k}{m}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-m+\frac{1}{m}.

$$x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}$$

השתמש ב- ‎\frac{k-mg-am^{2}}{1-m^{2}} במקום x ב- ‎y=\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{1}{m}\times \frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}+g-\frac{k}{m}$$

הכפל את ‎\frac{1}{m} ב- ‎\frac{k-mg-am^{2}}{1-m^{2}}.

$$y=\frac{k-gm-am^{2}}{m\left(1-m^{2}\right)}+g-\frac{k}{m}$$

הוסף את ‎g-\frac{k}{m} ל- ‎\frac{k-mg-am^{2}}{m\left(1-m^{2}\right)}.

$$y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}},x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎x משני האגפים.

$$k+ym-x=mg$$

החסר ‎k משני האגפים.

$$ym-x=mg-k$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎mx משני האגפים.

$$y-mx=-ma$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}&\frac{m}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m}{1-m^{2}}&\frac{1}{1-m^{2}}\\-\frac{1}{1-m^{2}}&\frac{m}{1-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m}{1-m^{2}}\right)\left(gm-k\right)+\frac{1}{1-m^{2}}\left(-am\right)\\\left(-\frac{1}{1-m^{2}}\right)\left(gm-k\right)+\frac{m}{1-m^{2}}\left(-am\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1}\\\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1},x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎x משני האגפים.

$$k+ym-x=mg$$

החסר ‎k משני האגפים.

$$ym-x=mg-k$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎mx משני האגפים.

$$y-mx=-ma$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

כדי להפוך את ‎my ו- ‎y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎m.

$$my-x=gm-k,my+m\left(-m\right)x=m\left(-am\right)$$

פשט.

$$my-x=gm-k,my+\left(-m^{2}\right)x=-am^{2}$$

החסר את ‎my+\left(-m^{2}\right)x=-am^{2} מ- ‎my-x=gm-k על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$my+\left(-m\right)y-x+m^{2}x=gm-k+am^{2}$$

הוסף את ‎my ל- ‎-my. האיברים ‎my ו- ‎-my מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-x+m^{2}x=gm-k+am^{2}$$

הוסף את ‎-x ל- ‎m^{2}x.

$$\left(m^{2}-1\right)x=gm-k+am^{2}$$

הוסף את ‎mg-k ל- ‎am^{2}.

$$\left(m^{2}-1\right)x=am^{2}+gm-k$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1+m^{2}.

$$x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$

השתמש ב- ‎\frac{mg-k+am^{2}}{m^{2}-1} במקום x ב- ‎y+\left(-m\right)x=-am. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y+\left(-m\right)\times \frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}=-am$$

הכפל את ‎-m ב- ‎\frac{mg-k+am^{2}}{m^{2}-1}.

$$y-\frac{m\left(am^{2}+gm-k\right)}{m^{2}-1}=-am$$

הוסף ‎\frac{m\left(mg-k+am^{2}\right)}{m^{2}-1} לשני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1},x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$