פתור את {l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$fx-y=7$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎9x משני האגפים.

$$fy-9x=8$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$fx-y=7$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$fx=y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{f} ב- ‎y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

השתמש ב- ‎\frac{7+y}{f} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

הכפל את ‎-9 ב- ‎\frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{f} ל- ‎fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

הוסף ‎\frac{63}{f} לשני אגפי המשוואה.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

השתמש ב- ‎\frac{63+8f}{f^{2}-9} במקום y ב- ‎x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

הכפל את ‎\frac{1}{f} ב- ‎\frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

הוסף את ‎\frac{7}{f} ל- ‎\frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$fx-y=7$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎9x משני האגפים.

$$fy-9x=8$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$fx-y=7$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎9x משני האגפים.

$$fy-9x=8$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

כדי להפוך את ‎fx ו- ‎-9x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

פשט.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

החסר את ‎\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f מ- ‎\left(-9f\right)x+9y=-63 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

הוסף את ‎-9fx ל- ‎9fx. האיברים ‎-9fx ו- ‎9fx מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

הוסף את ‎-63 ל- ‎-8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

השתמש ב- ‎-\frac{63+8f}{9-f^{2}} במקום y ב- ‎-9x+fy=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

הכפל את ‎f ב- ‎-\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

הוסף ‎\frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} לשני אגפי המשוואה.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$fx-y=7$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎9x משני האגפים.

$$fy-9x=8$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$fx-y=7$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$fx=y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{f} ב- ‎y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

השתמש ב- ‎\frac{7+y}{f} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

הכפל את ‎-9 ב- ‎\frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{f} ל- ‎fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

הוסף ‎\frac{63}{f} לשני אגפי המשוואה.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

השתמש ב- ‎\frac{63+8f}{f^{2}-9} במקום y ב- ‎x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

הכפל את ‎\frac{1}{f} ב- ‎\frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

הוסף את ‎\frac{7}{f} ל- ‎\frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$fx-y=7$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎9x משני האגפים.

$$fy-9x=8$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$fx-y=7$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎9x משני האגפים.

$$fy-9x=8$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

כדי להפוך את ‎fx ו- ‎-9x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

פשט.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

החסר את ‎\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f מ- ‎\left(-9f\right)x+9y=-63 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

הוסף את ‎-9fx ל- ‎9fx. האיברים ‎-9fx ו- ‎9fx מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

הוסף את ‎-63 ל- ‎-8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

השתמש ב- ‎-\frac{63+8f}{9-f^{2}} במקום y ב- ‎-9x+fy=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

הכפל את ‎f ב- ‎-\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

הוסף ‎\frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} לשני אגפי המשוואה.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$