פתור את {l}{cx+y=69}{2x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$cx+y=69$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$cx=-y+69$$

חלק את שני האגפים ב- ‎c.

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{c} ב- ‎-y+69.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

השתמש ב- ‎\frac{69-y}{c} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=87.

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{69-y}{c}.

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{c} ל- ‎y.

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

החסר ‎\frac{138}{c} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎\frac{-2+c}{c}.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} במקום y ב- ‎x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{c} ב- ‎\frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c}.

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

הוסף את ‎\frac{69}{c} ל- ‎-\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)}.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

החסר את ‎2x+y=87 מ- ‎cx+y=69 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$cx-2x+y-y=69-87$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$cx-2x=69-87$$

הוסף את ‎cx ל- ‎-2x.

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

הוסף את ‎69 ל- ‎-87.

$$\left(c-2\right)x=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎c-2.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{18}{c-2} במקום x ב- ‎2x+y=87. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{18}{c-2}.

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

הוסף ‎\frac{36}{c-2} לשני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$