פתור את {l}{b*12x-15y=-4}{16x+10y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { b \cdot 12 x - 15 y = - 4 } \\ { 16 x + 10 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

$$b\neq -2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$12bx-15y=-4$$

הוסף ‎15y לשני אגפי המשוואה.

$$12bx=15y-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12b.

$$x=\frac{1}{12b}\left(15y-4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{12b} ב- ‎15y-4.

$$x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}$$

השתמש ב- ‎\frac{-4+15y}{12b} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎16x+10y=7.

$$16\left(\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}\right)+10y=7$$

הכפל את ‎16 ב- ‎\frac{-4+15y}{12b}.

$$\frac{20}{b}y-\frac{16}{3b}+10y=7$$

הוסף את ‎\frac{20y}{b} ל- ‎10y.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y-\frac{16}{3b}=7$$

הוסף ‎\frac{16}{3b} לשני אגפי המשוואה.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y=7+\frac{16}{3b}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎\frac{20}{b}+10.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

השתמש ב- ‎\frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} במקום y ב- ‎x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{4b}\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

הכפל את ‎\frac{5}{4b} ב- ‎\frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$x=\frac{21b+16}{24b\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{3b} ל- ‎\frac{16+21b}{24b\left(2+b\right)}.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&-\frac{-15}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\\-\frac{16}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&\frac{12b}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}&\frac{1}{8\left(b+2\right)}\\-\frac{2}{15\left(b+2\right)}&\frac{b}{10\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}\left(-4\right)+\frac{1}{8\left(b+2\right)}\times 7\\\left(-\frac{2}{15\left(b+2\right)}\right)\left(-4\right)+\frac{b}{10\left(b+2\right)}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{24\left(b+2\right)}\\\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

כדי להפוך את ‎12bx ו- ‎16x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎16 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎12b.

$$16\times 12bx+16\left(-15\right)y=16\left(-4\right),12b\times 16x+12b\times 10y=12b\times 7$$

פשט.

$$192bx-240y=-64,192bx+120by=84b$$

החסר את ‎192bx+120by=84b מ- ‎192bx-240y=-64 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$192bx+\left(-192b\right)x-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

הוסף את ‎192bx ל- ‎-192bx. האיברים ‎192bx ו- ‎-192bx מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

הוסף את ‎-240y ל- ‎-120by.

$$\left(-120b-240\right)y=-64-84b$$

הוסף את ‎-64 ל- ‎-84b.

$$\left(-120b-240\right)y=-84b-64$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-240-120b.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

השתמש ב- ‎\frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} במקום y ב- ‎16x+10y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$16x+10\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}=7$$

הכפל את ‎10 ב- ‎\frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$16x+\frac{21b+16}{3\left(b+2\right)}=7$$

החסר ‎\frac{16+21b}{3\left(2+b\right)} משני אגפי המשוואה.

$$16x=\frac{26}{3\left(b+2\right)}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$