פתור את {l}{ax+by=c}{a^2x+b^2y=c}

$$\left. \begin{array} { l } { a x + b y = c } \\ { a ^ { 2 } x + b ^ { 2 } y = c } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$ax+by=c$$

החסר ‎by משני אגפי המשוואה.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

חלק את שני האגפים ב- ‎a.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{a} ב- ‎-by+c.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

השתמש ב- ‎\frac{-by+c}{a} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎a^{2}x+b^{2}y=c.

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

הכפל את ‎a^{2} ב- ‎\frac{-by+c}{a}.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

הוסף את ‎-bay ל- ‎b^{2}y.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

החסר ‎ca משני אגפי המשוואה.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

חלק את שני האגפים ב- ‎b\left(b-a\right).

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

השתמש ב- ‎\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)} במקום y ב- ‎x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

הכפל את ‎-\frac{b}{a} ב- ‎\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

הוסף את ‎\frac{c}{a} ל- ‎-\frac{\left(1-a\right)c}{\left(b-a\right)a}.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

כדי להפוך את ‎ax ו- ‎a^{2}x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎a^{2} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎a.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

פשט.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

החסר את ‎a^{3}x+ab^{2}y=ac מ- ‎a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

הוסף את ‎a^{3}x ל- ‎-a^{3}x. האיברים ‎a^{3}x ו- ‎-a^{3}x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

הוסף את ‎a^{2}by ל- ‎-ab^{2}y.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

הוסף את ‎a^{2}c ל- ‎-ac.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

חלק את שני האגפים ב- ‎ab\left(a-b\right).

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

השתמש ב- ‎\frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} במקום y ב- ‎a^{2}x+b^{2}y=c. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

הכפל את ‎b^{2} ב- ‎\frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

החסר ‎\frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} משני אגפי המשוואה.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎a^{2}.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

פתור עבור x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 1\text{ and }b\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$ax+by=c$$

החסר ‎by משני אגפי המשוואה.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

חלק את שני האגפים ב- ‎a.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{a} ב- ‎-by+c.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

השתמש ב- ‎\frac{-by+c}{a} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎a^{2}x+b^{2}y=c.

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

הכפל את ‎a^{2} ב- ‎\frac{-by+c}{a}.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

הוסף את ‎-bay ל- ‎b^{2}y.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

החסר ‎ca משני אגפי המשוואה.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

חלק את שני האגפים ב- ‎b\left(-a+b\right).

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

השתמש ב- ‎\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)} במקום y ב- ‎x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

הכפל את ‎-\frac{b}{a} ב- ‎\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)}.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

הוסף את ‎\frac{c}{a} ל- ‎-\frac{\left(1-a\right)c}{\left(-a+b\right)a}.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

כדי להפוך את ‎ax ו- ‎a^{2}x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎a^{2} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎a.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

פשט.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

החסר את ‎a^{3}x+ab^{2}y=ac מ- ‎a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

הוסף את ‎a^{3}x ל- ‎-a^{3}x. האיברים ‎a^{3}x ו- ‎-a^{3}x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

הוסף את ‎a^{2}by ל- ‎-ab^{2}y.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

הוסף את ‎a^{2}c ל- ‎-ac.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

חלק את שני האגפים ב- ‎ab\left(a-b\right).

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

השתמש ב- ‎\frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} במקום y ב- ‎a^{2}x+b^{2}y=c. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

הכפל את ‎b^{2} ב- ‎\frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

החסר ‎\frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} משני אגפי המשוואה.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎a^{2}.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$