פתור את {l}{a^2+b^2=13}{a+b=4}

$$\left. \begin{array} { l } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 13 } \\ { a + b = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=\frac{\sqrt{10}}{2}+2\approx 3.58113883\text{, }b=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\approx 0.41886117$$

$$a=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\approx 0.41886117\text{, }b=\frac{\sqrt{10}}{2}+2\approx 3.58113883$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$a+b=4,b^{2}+a^{2}=13$$

פתור את ‎a+b=4 עבור ‎a על-ידי בידוד ‎a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$a+b=4$$

החסר ‎b משני אגפי המשוואה.

$$a=-b+4$$

השתמש ב- ‎-b+4 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎b^{2}+a^{2}=13.

$$b^{2}+\left(-b+4\right)^{2}=13$$

‎-b+4 בריבוע.

$$b^{2}+b^{2}-8b+16=13$$

הוסף את ‎b^{2} ל- ‎b^{2}.

$$2b^{2}-8b+16=13$$

החסר ‎13 משני אגפי המשוואה.

$$2b^{2}-8b+3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1+1\left(-1\right)^{2} במקום a, ב- 1\times 4\left(-1\right)\times 2 במקום b, וב- 3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

‎1\times 4\left(-1\right)\times 2 בריבוע.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎1+1\left(-1\right)^{2}.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\times 3}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎3.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-24}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎-24.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{40}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 40.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{10}}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎1\times 4\left(-1\right)\times 2 הוא ‎8.

$$b=\frac{8±2\sqrt{10}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎1+1\left(-1\right)^{2}.

$$b=\frac{8±2\sqrt{10}}{4}$$

כעת פתור את המשוואה b=\frac{8±2\sqrt{10}}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎8 ל- ‎2\sqrt{10}.

$$b=\frac{2\sqrt{10}+8}{4}$$

חלק את ‎8+2\sqrt{10} ב- ‎4.

$$b=\frac{\sqrt{10}}{2}+2$$

כעת פתור את המשוואה b=\frac{8±2\sqrt{10}}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{10} מ- ‎8.

$$b=\frac{8-2\sqrt{10}}{4}$$

חלק את ‎8-2\sqrt{10} ב- ‎4.

$$b=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎b‏: ‎2+\frac{\sqrt{10}}{2} ו- ‎2-\frac{\sqrt{10}}{2}. השתמש ב- ‎2+\frac{\sqrt{10}}{2} במקום ‎b במשוואה ‎a=-b+4 כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎a שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$a=-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)+4$$

כעת השתמש ב- ‎2-\frac{\sqrt{10}}{2} במקום ‎b במשוואה a=-b+4 ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎a שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$a=-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)+4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)+4,b=\frac{\sqrt{10}}{2}+2\text{ or }a=-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)+4,b=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2$$