פתור את {l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F}

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$Ax+By=C$$

החסר ‎By משני אגפי המשוואה.

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

חלק את שני האגפים ב- ‎A.

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{A} ב- ‎-By+C.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

השתמש ב- ‎\frac{-By+C}{A} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎Dx+Cy=F.

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

הכפל את ‎D ב- ‎\frac{-By+C}{A}.

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

הוסף את ‎-\frac{DBy}{A} ל- ‎Cy.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

החסר ‎\frac{DC}{A} משני אגפי המשוואה.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

חלק את שני האגפים ב- ‎C-\frac{DB}{A}.

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

השתמש ב- ‎\frac{FA-DC}{CA-DB} במקום y ב- ‎x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

הכפל את ‎-\frac{B}{A} ב- ‎\frac{FA-DC}{CA-DB}.

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

הוסף את ‎\frac{C}{A} ל- ‎-\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)}.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

כדי להפוך את ‎Ax ו- ‎Dx לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎D ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎A.

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

פשט.

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

החסר את ‎ADx+ACy=AF מ- ‎ADx+BDy=CD על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

הוסף את ‎DAx ל- ‎-DAx. האיברים ‎DAx ו- ‎-DAx מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

הוסף את ‎DBy ל- ‎-ACy.

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

חלק את שני האגפים ב- ‎DB-AC.

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

השתמש ב- ‎\frac{DC-AF}{DB-AC} במקום y ב- ‎Dx+Cy=F. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

הכפל את ‎C ב- ‎\frac{DC-AF}{DB-AC}.

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

החסר ‎\frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} משני אגפי המשוואה.

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎D.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$