פתור את {l}{A+B+1=0}{A-2B=3}

$$\left. \begin{array} { l } { A + B + 1 = 0 } \\ { A - 2 B = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור A, B

$$A=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$B = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור A על-ידי בידוד A בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$A+B+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$A+B=-1$$

החסר ‎B משני אגפי המשוואה.

$$A=-B-1$$

השתמש ב- ‎-B-1 במקום ‎A במשוואה השניה, ‎A-2B=3.

$$-B-1-2B=3$$

הוסף את ‎-B ל- ‎-2B.

$$-3B-1=3$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$-3B=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$B=-\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{4}{3} במקום B ב- ‎A=-B-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את A ישירות.

$$A=-\left(-\frac{4}{3}\right)-1$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-\frac{4}{3}.

$$A=\frac{4}{3}-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎\frac{4}{3}.

$$A=\frac{1}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 3\\\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה A ו- B.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

החסר את ‎A-2B=3 מ- ‎A+B+1=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$A-A+B+2B+1=-3$$

הוסף את ‎A ל- ‎-A. האיברים ‎A ו- ‎-A מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$B+2B+1=-3$$

הוסף את ‎B ל- ‎2B.

$$3B+1=-3$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$3B=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$B=-\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{4}{3} במקום B ב- ‎A-2B=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את A ישירות.

$$A-2\left(-\frac{4}{3}\right)=3$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-\frac{4}{3}.

$$A+\frac{8}{3}=3$$

החסר ‎\frac{8}{3} משני אגפי המשוואה.

$$A=\frac{1}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$