פתור את {l}{9x-7y=-19}{3x+y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 7 y = - 19 } \\ { 3 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$9x-7y=-19$$

הוסף ‎7y לשני אגפי המשוואה.

$$9x=7y-19$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=\frac{1}{9}\left(7y-19\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{9} ב- ‎7y-19.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}$$

השתמש ב- ‎\frac{7y-19}{9} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+y=7.

$$3\left(\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}\right)+y=7$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{7y-19}{9}.

$$\frac{7}{3}y-\frac{19}{3}+y=7$$

הוסף את ‎\frac{7y}{3} ל- ‎y.

$$\frac{10}{3}y-\frac{19}{3}=7$$

הוסף ‎\frac{19}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{10}{3}y=\frac{40}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{10}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{7}{9}\times 4-\frac{19}{9}$$

הכפל את ‎\frac{7}{9} ב- ‎4.

$$x=\frac{28-19}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{19}{9} ל- ‎\frac{28}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-7\times 3\right)}&-\frac{-7}{9-\left(-7\times 3\right)}\\-\frac{3}{9-\left(-7\times 3\right)}&\frac{9}{9-\left(-7\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&\frac{7}{30}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\left(-19\right)+\frac{7}{30}\times 7\\-\frac{1}{10}\left(-19\right)+\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

כדי להפוך את ‎9x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎9.

$$3\times 9x+3\left(-7\right)y=3\left(-19\right),9\times 3x+9y=9\times 7$$

פשט.

$$27x-21y=-57,27x+9y=63$$

החסר את ‎27x+9y=63 מ- ‎27x-21y=-57 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$27x-27x-21y-9y=-57-63$$

הוסף את ‎27x ל- ‎-27x. האיברים ‎27x ו- ‎-27x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-21y-9y=-57-63$$

הוסף את ‎-21y ל- ‎-9y.

$$-30y=-57-63$$

הוסף את ‎-57 ל- ‎-63.

$$-30y=-120$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-30.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎3x+y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+4=7$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$3x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=4$$