פתור את {l}{9x-3y-13=0}{2x+y-4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y - 13 = 0 } \\ { 2 x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$9x-3y-13=0$$

הוסף ‎13 לשני אגפי המשוואה.

$$9x-3y=13$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$9x=3y+13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+13\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{9} ב- ‎3y+13.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{3}+\frac{13}{9} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y-4=0.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}\right)+y-4=0$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{y}{3}+\frac{13}{9}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{26}{9}+y-4=0$$

הוסף את ‎\frac{2y}{3} ל- ‎y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{26}{9}-4=0$$

הוסף את ‎\frac{26}{9} ל- ‎-4.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{9}=0$$

הוסף ‎\frac{10}{9} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{9}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{2}{3} במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{13}{9}$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎\frac{2}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{2+13}{9}$$

הוסף את ‎\frac{13}{9} ל- ‎\frac{2}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{5}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{9-\left(-3\times 2\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{15}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 13+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{15}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

כדי להפוך את ‎9x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎9.

$$2\times 9x+2\left(-3\right)y+2\left(-13\right)=0,9\times 2x+9y+9\left(-4\right)=0$$

פשט.

$$18x-6y-26=0,18x+9y-36=0$$

החסר את ‎18x+9y-36=0 מ- ‎18x-6y-26=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$18x-18x-6y-9y-26+36=0$$

הוסף את ‎18x ל- ‎-18x. האיברים ‎18x ו- ‎-18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y-9y-26+36=0$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎-9y.

$$-15y-26+36=0$$

הוסף את ‎-26 ל- ‎36.

$$-15y+10=0$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$-15y=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-15.

$$y=\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{2}{3} במקום y ב- ‎2x+y-4=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+\frac{2}{3}-4=0$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎-4.

$$2x-\frac{10}{3}=0$$

הוסף ‎\frac{10}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{10}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{5}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$