פתור את {l}{9x+y=88}{7x-8y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + y = 88 } \\ { 7 x - 8 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=9$$

$$y=7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$9x+y=88$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$9x=-y+88$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+88\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{9} ב- ‎-y+88.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+88}{9} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x-8y=7.

$$7\left(-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}\right)-8y=7$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{-y+88}{9}.

$$-\frac{7}{9}y+\frac{616}{9}-8y=7$$

הוסף את ‎-\frac{7y}{9} ל- ‎-8y.

$$-\frac{79}{9}y+\frac{616}{9}=7$$

החסר ‎\frac{616}{9} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{79}{9}y=-\frac{553}{9}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{79}{9}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{9}\times 7+\frac{88}{9}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{9} ב- ‎7.

$$x=\frac{-7+88}{9}$$

הוסף את ‎\frac{88}{9} ל- ‎-\frac{7}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-7}&-\frac{1}{9\left(-8\right)-7}\\-\frac{7}{9\left(-8\right)-7}&\frac{9}{9\left(-8\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}&\frac{1}{79}\\\frac{7}{79}&-\frac{9}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}\times 88+\frac{1}{79}\times 7\\\frac{7}{79}\times 88-\frac{9}{79}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=9,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

כדי להפוך את ‎9x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎9.

$$7\times 9x+7y=7\times 88,9\times 7x+9\left(-8\right)y=9\times 7$$

פשט.

$$63x+7y=616,63x-72y=63$$

החסר את ‎63x-72y=63 מ- ‎63x+7y=616 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$63x-63x+7y+72y=616-63$$

הוסף את ‎63x ל- ‎-63x. האיברים ‎63x ו- ‎-63x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$7y+72y=616-63$$

הוסף את ‎7y ל- ‎72y.

$$79y=616-63$$

הוסף את ‎616 ל- ‎-63.

$$79y=553$$

חלק את שני האגפים ב- ‎79.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎7x-8y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x-8\times 7=7$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎7.

$$7x-56=7$$

הוסף ‎56 לשני אגפי המשוואה.

$$7x=63$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=7$$