פתור את {l}{9x+my+3=0}{mx+4y+2=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + m y + 3 = 0 } \\ { m x + 4 y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&m\neq -6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$9x+my+3=0$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$9x+my=-3$$

החסר ‎my משני אגפי המשוואה.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{9} ב- ‎-my-3.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{my}{9}-\frac{1}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

הכפל את ‎m ב- ‎-\frac{my}{9}-\frac{1}{3}.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

הוסף את ‎-\frac{m^{2}y}{9} ל- ‎4y.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

החסר ‎-\frac{m}{3}+2 משני אגפי המשוואה.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-\frac{m^{2}}{9}+4.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{6+m} במקום y ב- ‎x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{m}{9} ב- ‎-\frac{3}{6+m}.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{3} ל- ‎\frac{m}{3\left(6+m\right)}.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

כדי להפוך את ‎9x ו- ‎mx לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎m ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎9.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

פשט.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

החסר את ‎9mx+36y+18=0 מ- ‎9mx+m^{2}y+3m=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

הוסף את ‎9mx ל- ‎-9mx. האיברים ‎9mx ו- ‎-9mx מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

הוסף את ‎m^{2}y ל- ‎-36y.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

החסר ‎-18+3m משני אגפי המשוואה.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

חלק את שני האגפים ב- ‎m^{2}-36.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{6+m} במקום y ב- ‎mx+4y+2=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-\frac{3}{6+m}.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

הוסף את ‎-\frac{12}{6+m} ל- ‎2.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

החסר ‎\frac{2m}{6+m} משני אגפי המשוואה.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎m.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

פתור עבור x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&|m|\neq 6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$9x+my+3=0$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$9x+my=-3$$

החסר ‎my משני אגפי המשוואה.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{9} ב- ‎-my-3.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{my}{9}-\frac{1}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

הכפל את ‎m ב- ‎-\frac{my}{9}-\frac{1}{3}.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

הוסף את ‎-\frac{m^{2}y}{9} ל- ‎4y.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

החסר ‎-\frac{m}{3}+2 משני אגפי המשוואה.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-\frac{m^{2}}{9}+4.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{6+m} במקום y ב- ‎x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{m}{9} ב- ‎-\frac{3}{6+m}.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{3} ל- ‎\frac{m}{3\left(6+m\right)}.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

כדי להפוך את ‎9x ו- ‎mx לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎m ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎9.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

פשט.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

החסר את ‎9mx+36y+18=0 מ- ‎9mx+m^{2}y+3m=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

הוסף את ‎9mx ל- ‎-9mx. האיברים ‎9mx ו- ‎-9mx מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

הוסף את ‎m^{2}y ל- ‎-36y.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

החסר ‎-18+3m משני אגפי המשוואה.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

חלק את שני האגפים ב- ‎m^{2}-36.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{6+m} במקום y ב- ‎mx+4y+2=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-\frac{3}{6+m}.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

הוסף את ‎-\frac{12}{6+m} ל- ‎2.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

החסר ‎\frac{2m}{6+m} משני אגפי המשוואה.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎m.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$