פתור את {l}{9x+13y=9}{2x+y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 13 y = 9 } \\ { 2 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{134}{17} = 7\frac{15}{17} \approx 7.882352941$$

$$y = -\frac{81}{17} = -4\frac{13}{17} \approx -4.764705882$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$9x+13y=9$$

החסר ‎13y משני אגפי המשוואה.

$$9x=-13y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-13y+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{9} ב- ‎-13y+9.

$$x=-\frac{13}{9}y+1$$

השתמש ב- ‎-\frac{13y}{9}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=11.

$$2\left(-\frac{13}{9}y+1\right)+y=11$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{13y}{9}+1.

$$-\frac{26}{9}y+2+y=11$$

הוסף את ‎-\frac{26y}{9} ל- ‎y.

$$-\frac{17}{9}y+2=11$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{17}{9}y=9$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{17}{9}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{81}{17}$$

השתמש ב- ‎-\frac{81}{17} במקום y ב- ‎x=-\frac{13}{9}y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{13}{9}\left(-\frac{81}{17}\right)+1$$

הכפל את ‎-\frac{13}{9} ב- ‎-\frac{81}{17} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{117}{17}+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎\frac{117}{17}.

$$x=\frac{134}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-13\times 2}&-\frac{13}{9-13\times 2}\\-\frac{2}{9-13\times 2}&\frac{9}{9-13\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}&\frac{13}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{9}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}\times 9+\frac{13}{17}\times 11\\\frac{2}{17}\times 9-\frac{9}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{17}\\-\frac{81}{17}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

כדי להפוך את ‎9x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎9.

$$2\times 9x+2\times 13y=2\times 9,9\times 2x+9y=9\times 11$$

פשט.

$$18x+26y=18,18x+9y=99$$

החסר את ‎18x+9y=99 מ- ‎18x+26y=18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$18x-18x+26y-9y=18-99$$

הוסף את ‎18x ל- ‎-18x. האיברים ‎18x ו- ‎-18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$26y-9y=18-99$$

הוסף את ‎26y ל- ‎-9y.

$$17y=18-99$$

הוסף את ‎18 ל- ‎-99.

$$17y=-81$$

חלק את שני האגפים ב- ‎17.

$$y=-\frac{81}{17}$$

השתמש ב- ‎-\frac{81}{17} במקום y ב- ‎2x+y=11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-\frac{81}{17}=11$$

הוסף ‎\frac{81}{17} לשני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{268}{17}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{134}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$