פתור את {l}{9m+6n=123}{9m+5n=113}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 m + 6 n = 123 } \\ { 9 m + 5 n = 113 } \end{array} \right.$$

פתור עבור m, n

$$m=7$$

$$n=10$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור m על-ידי בידוד m בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$9m+6n=123$$

החסר ‎6n משני אגפי המשוואה.

$$9m=-6n+123$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$m=\frac{1}{9}\left(-6n+123\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{9} ב- ‎-6n+123.

$$m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2n+41}{3} במקום ‎m במשוואה השניה, ‎9m+5n=113.

$$9\left(-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}\right)+5n=113$$

הכפל את ‎9 ב- ‎\frac{-2n+41}{3}.

$$-6n+123+5n=113$$

הוסף את ‎-6n ל- ‎5n.

$$-n+123=113$$

החסר ‎123 משני אגפי המשוואה.

$$-n=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$n=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום n ב- ‎m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m=-\frac{2}{3}\times 10+\frac{41}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎10.

$$m=\frac{-20+41}{3}$$

הוסף את ‎\frac{41}{3} ל- ‎-\frac{20}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$m=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=7,n=10$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{9\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{9\times 5-6\times 9}&\frac{9}{9\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}&\frac{2}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}\times 123+\frac{2}{3}\times 113\\123-113\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה m ו- n.

$$m=7,n=10$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

החסר את ‎9m+5n=113 מ- ‎9m+6n=123 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$9m-9m+6n-5n=123-113$$

הוסף את ‎9m ל- ‎-9m. האיברים ‎9m ו- ‎-9m מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6n-5n=123-113$$

הוסף את ‎6n ל- ‎-5n.

$$n=123-113$$

הוסף את ‎123 ל- ‎-113.

$$n=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום n ב- ‎9m+5n=113. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$9m+5\times 10=113$$

הכפל את ‎5 ב- ‎10.

$$9m+50=113$$

החסר ‎50 משני אגפי המשוואה.

$$9m=63$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$m=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=7,n=10$$