פתור את {l}{9a-3b=6}{12a=9b+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 a - 3 b = 6 } \\ { 12 a = 9 b + 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=1$$

$$b=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎9b משני האגפים.

$$12a-9b=3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$9a-3b=6,12a-9b=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$9a-3b=6$$

הוסף ‎3b לשני אגפי המשוואה.

$$9a=3b+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$a=\frac{1}{9}\left(3b+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{9} ב- ‎6+3b.

$$a=\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{2+b}{3} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎12a-9b=3.

$$12\left(\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}\right)-9b=3$$

הכפל את ‎12 ב- ‎\frac{2+b}{3}.

$$4b+8-9b=3$$

הוסף את ‎4b ל- ‎-9b.

$$-5b+8=3$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$-5b=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$b=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום b ב- ‎a=\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=\frac{1+2}{3}$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎\frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=1,b=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎9b משני האגפים.

$$12a-9b=3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$9a-3b=6,12a-9b=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\12&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{9\left(-9\right)-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{9\left(-9\right)-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{9\left(-9\right)-\left(-3\times 12\right)}&\frac{9}{9\left(-9\right)-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 6-\frac{1}{15}\times 3\\\frac{4}{15}\times 6-\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=1,b=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎9b משני האגפים.

$$12a-9b=3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$9a-3b=6,12a-9b=3$$

כדי להפוך את ‎9a ו- ‎12a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎12 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎9.

$$12\times 9a+12\left(-3\right)b=12\times 6,9\times 12a+9\left(-9\right)b=9\times 3$$

פשט.

$$108a-36b=72,108a-81b=27$$

החסר את ‎108a-81b=27 מ- ‎108a-36b=72 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$108a-108a-36b+81b=72-27$$

הוסף את ‎108a ל- ‎-108a. האיברים ‎108a ו- ‎-108a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-36b+81b=72-27$$

הוסף את ‎-36b ל- ‎81b.

$$45b=72-27$$

הוסף את ‎72 ל- ‎-27.

$$45b=45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎45.

$$b=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום b ב- ‎12a-9b=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$12a-9=3$$

הוסף ‎9 לשני אגפי המשוואה.

$$12a=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$a=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=1,b=1$$