פתור את {l}{80x+160y=4}{x+3y=0.1}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { x + 3 y = 0.1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-0.05$$

$$y=0.05$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$80x+160y=4$$

החסר ‎160y משני אגפי המשוואה.

$$80x=-160y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎80.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{80} ב- ‎-160y+4.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

השתמש ב- ‎-2y+\frac{1}{20} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+3y=0.1.

$$-2y+\frac{1}{20}+3y=0.1$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎3y.

$$y+\frac{1}{20}=0.1$$

החסר ‎\frac{1}{20} משני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{1}{20}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{20} במקום y ב- ‎x=-2y+\frac{1}{20}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times \frac{1}{20}+\frac{1}{20}$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{1}{20}.

$$x=-\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$$

הוסף את ‎\frac{1}{20} ל- ‎-\frac{1}{10} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{1}{20}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80\times 3-160}&-\frac{160}{80\times 3-160}\\-\frac{1}{80\times 3-160}&\frac{80}{80\times 3-160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}&-2\\-\frac{1}{80}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}\times 4-2\times 0.1\\-\frac{1}{80}\times 4+0.1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\\\frac{1}{20}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

כדי להפוך את ‎80x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎80.

$$80x+160y=4,80x+80\times 3y=80\times 0.1$$

פשט.

$$80x+160y=4,80x+240y=8$$

החסר את ‎80x+240y=8 מ- ‎80x+160y=4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$80x-80x+160y-240y=4-8$$

הוסף את ‎80x ל- ‎-80x. האיברים ‎80x ו- ‎-80x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$160y-240y=4-8$$

הוסף את ‎160y ל- ‎-240y.

$$-80y=4-8$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-8.

$$-80y=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-80.

$$y=\frac{1}{20}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{20} במקום y ב- ‎x+3y=0.1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+3\times \frac{1}{20}=0.1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{1}{20}.

$$x+\frac{3}{20}=0.1$$

החסר ‎\frac{3}{20} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{1}{20}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$