פתור את {l}{80x+160y=4}{5600x+5600y=5536}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { 5600 x + 5600 y = 5536 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{1349}{700} = 1\frac{649}{700} \approx 1.927142857$$

$$y=-\frac{657}{700}\approx -0.938571429$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$80x+160y=4$$

החסר ‎160y משני אגפי המשוואה.

$$80x=-160y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎80.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{80} ב- ‎-160y+4.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

השתמש ב- ‎-2y+\frac{1}{20} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5600x+5600y=5536.

$$5600\left(-2y+\frac{1}{20}\right)+5600y=5536$$

הכפל את ‎5600 ב- ‎-2y+\frac{1}{20}.

$$-11200y+280+5600y=5536$$

הוסף את ‎-11200y ל- ‎5600y.

$$-5600y+280=5536$$

החסר ‎280 משני אגפי המשוואה.

$$-5600y=5256$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5600.

$$y=-\frac{657}{700}$$

השתמש ב- ‎-\frac{657}{700} במקום y ב- ‎x=-2y+\frac{1}{20}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\left(-\frac{657}{700}\right)+\frac{1}{20}$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-\frac{657}{700}.

$$x=\frac{657}{350}+\frac{1}{20}$$

הוסף את ‎\frac{1}{20} ל- ‎\frac{657}{350} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1349}{700}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&-\frac{160}{80\times 5600-160\times 5600}\\-\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&\frac{80}{80\times 5600-160\times 5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{2800}\\\frac{1}{80}&-\frac{1}{5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 4+\frac{1}{2800}\times 5536\\\frac{1}{80}\times 4-\frac{1}{5600}\times 5536\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1349}{700}\\-\frac{657}{700}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

כדי להפוך את ‎80x ו- ‎5600x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5600 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎80.

$$5600\times 80x+5600\times 160y=5600\times 4,80\times 5600x+80\times 5600y=80\times 5536$$

פשט.

$$448000x+896000y=22400,448000x+448000y=442880$$

החסר את ‎448000x+448000y=442880 מ- ‎448000x+896000y=22400 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$448000x-448000x+896000y-448000y=22400-442880$$

הוסף את ‎448000x ל- ‎-448000x. האיברים ‎448000x ו- ‎-448000x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$896000y-448000y=22400-442880$$

הוסף את ‎896000y ל- ‎-448000y.

$$448000y=22400-442880$$

הוסף את ‎22400 ל- ‎-442880.

$$448000y=-420480$$

חלק את שני האגפים ב- ‎448000.

$$y=-\frac{657}{700}$$

השתמש ב- ‎-\frac{657}{700} במקום y ב- ‎5600x+5600y=5536. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5600x+5600\left(-\frac{657}{700}\right)=5536$$

הכפל את ‎5600 ב- ‎-\frac{657}{700}.

$$5600x-5256=5536$$

הוסף ‎5256 לשני אגפי המשוואה.

$$5600x=10792$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5600.

$$x=\frac{1349}{700}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$