פתור את {l}{8x-9y=15}{-5x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 9 y = 15 } \\ { - 5 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-6$$

$$y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8x-9y=15$$

הוסף ‎9y לשני אגפי המשוואה.

$$8x=9y+15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{1}{8}\left(9y+15\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎9y+15.

$$x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{9y+15}{8} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-5x+3y=9.

$$-5\left(\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}\right)+3y=9$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{9y+15}{8}.

$$-\frac{45}{8}y-\frac{75}{8}+3y=9$$

הוסף את ‎-\frac{45y}{8} ל- ‎3y.

$$-\frac{21}{8}y-\frac{75}{8}=9$$

הוסף ‎\frac{75}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{21}{8}y=\frac{147}{8}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{21}{8}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-7$$

השתמש ב- ‎-7 במקום y ב- ‎x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{9}{8}\left(-7\right)+\frac{15}{8}$$

הכפל את ‎\frac{9}{8} ב- ‎-7.

$$x=\frac{-63+15}{8}$$

הוסף את ‎\frac{15}{8} ל- ‎-\frac{63}{8} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-6,y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{-9}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{5}{21}&-\frac{8}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 15-\frac{3}{7}\times 9\\-\frac{5}{21}\times 15-\frac{8}{21}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-6,y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

כדי להפוך את ‎8x ו- ‎-5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎8.

$$-5\times 8x-5\left(-9\right)y=-5\times 15,8\left(-5\right)x+8\times 3y=8\times 9$$

פשט.

$$-40x+45y=-75,-40x+24y=72$$

החסר את ‎-40x+24y=72 מ- ‎-40x+45y=-75 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-40x+40x+45y-24y=-75-72$$

הוסף את ‎-40x ל- ‎40x. האיברים ‎-40x ו- ‎40x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$45y-24y=-75-72$$

הוסף את ‎45y ל- ‎-24y.

$$21y=-75-72$$

הוסף את ‎-75 ל- ‎-72.

$$21y=-147$$

חלק את שני האגפים ב- ‎21.

$$y=-7$$

השתמש ב- ‎-7 במקום y ב- ‎-5x+3y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-5x+3\left(-7\right)=9$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-7.

$$-5x-21=9$$

הוסף ‎21 לשני אגפי המשוואה.

$$-5x=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=-6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-6,y=-7$$