פתור את {l}{8x-5y-3=0}{5*(y-3x)=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y - 3 = 0 } \\ { 5 \cdot ( y - 3 x ) = - 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎3 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$8x-5y=3$$

שקול את המשוואה השניה. חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

חלק את ‎-10 ב- ‎5 כדי לקבל ‎-2.

$$y-3x=-2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8x-5y=3$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$8x=5y+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎5y+3.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y+3}{8} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-3x+y=-2.

$$-3\left(\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}\right)+y=-2$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{5y+3}{8}.

$$-\frac{15}{8}y-\frac{9}{8}+y=-2$$

הוסף את ‎-\frac{15y}{8} ל- ‎y.

$$-\frac{7}{8}y-\frac{9}{8}=-2$$

הוסף ‎\frac{9}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{7}{8}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{7}{8}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5+3}{8}$$

הוסף את ‎\frac{3}{8} ל- ‎\frac{5}{8} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎3 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$8x-5y=3$$

שקול את המשוואה השניה. חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

חלק את ‎-10 ב- ‎5 כדי לקבל ‎-2.

$$y-3x=-2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{8}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3-\frac{5}{7}\left(-2\right)\\-\frac{3}{7}\times 3-\frac{8}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎3 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$8x-5y=3$$

שקול את המשוואה השניה. חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

חלק את ‎-10 ב- ‎5 כדי לקבל ‎-2.

$$y-3x=-2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

כדי להפוך את ‎8x ו- ‎-3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎8.

$$-3\times 8x-3\left(-5\right)y=-3\times 3,8\left(-3\right)x+8y=8\left(-2\right)$$

פשט.

$$-24x+15y=-9,-24x+8y=-16$$

החסר את ‎-24x+8y=-16 מ- ‎-24x+15y=-9 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-24x+24x+15y-8y=-9+16$$

הוסף את ‎-24x ל- ‎24x. האיברים ‎-24x ו- ‎24x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$15y-8y=-9+16$$

הוסף את ‎15y ל- ‎-8y.

$$7y=-9+16$$

הוסף את ‎-9 ל- ‎16.

$$7y=7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎-3x+y=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-3x+1=-2$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$-3x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=1$$