פתור את {l}{8x-5y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8x-5y=10$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$8x=5y+10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎10+5y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{4}+\frac{5y}{8} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-4y=11.

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{5}{4}+\frac{5y}{8}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

הוסף את ‎\frac{15y}{4} ל- ‎-4y.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

החסר ‎\frac{15}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=-14$$

השתמש ב- ‎-14 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

הכפל את ‎\frac{5}{8} ב- ‎-14.

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

הוסף את ‎\frac{5}{4} ל- ‎-\frac{35}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{15}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

כדי להפוך את ‎8x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎8.

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

פשט.

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

החסר את ‎48x-32y=88 מ- ‎48x-30y=60 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

הוסף את ‎48x ל- ‎-48x. האיברים ‎48x ו- ‎-48x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-30y+32y=60-88$$

הוסף את ‎-30y ל- ‎32y.

$$2y=60-88$$

הוסף את ‎60 ל- ‎-88.

$$2y=-28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-14$$

השתמש ב- ‎-14 במקום y ב- ‎6x-4y=11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-14.

$$6x+56=11$$

החסר ‎56 משני אגפי המשוואה.

$$6x=-45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=-\frac{15}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$