פתור את {l}{8x+y=64}{x+y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + y = 64 } \\ { x + y = 42 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$y = \frac{272}{7} = 38\frac{6}{7} \approx 38.857142857$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8x+y=64,x+y=42$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8x+y=64$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$8x=-y+64$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+64\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎-y+64.

$$x=-\frac{1}{8}y+8$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{8}+8 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=42.

$$-\frac{1}{8}y+8+y=42$$

הוסף את ‎-\frac{y}{8} ל- ‎y.

$$\frac{7}{8}y+8=42$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{8}y=34$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{8}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{272}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{272}{7} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{8}y+8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{272}{7}+8$$

הכפל את ‎-\frac{1}{8} ב- ‎\frac{272}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{34}{7}+8$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-\frac{34}{7}.

$$x=\frac{22}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8x+y=64,x+y=42$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-1}&-\frac{1}{8-1}\\-\frac{1}{8-1}&\frac{8}{8-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 64-\frac{1}{7}\times 42\\-\frac{1}{7}\times 64+\frac{8}{7}\times 42\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\\frac{272}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8x+y=64,x+y=42$$

החסר את ‎x+y=42 מ- ‎8x+y=64 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-x+y-y=64-42$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8x-x=64-42$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-x.

$$7x=64-42$$

הוסף את ‎64 ל- ‎-42.

$$7x=22$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{22}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{22}{7} במקום x ב- ‎x+y=42. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$\frac{22}{7}+y=42$$

החסר ‎\frac{22}{7} משני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{272}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$