פתור את {l}{8x+9y=-13}{39x+28y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 9 y = - 13 } \\ { 39 x + 28 y = 16 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8x+9y=-13,39x+28y=16$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8x+9y=-13$$

החסר ‎9y משני אגפי המשוואה.

$$8x=-9y-13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-9y-13\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎-9y-13.

$$x=-\frac{9}{8}y-\frac{13}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{-9y-13}{8} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎39x+28y=16.

$$39\left(-\frac{9}{8}y-\frac{13}{8}\right)+28y=16$$

הכפל את ‎39 ב- ‎\frac{-9y-13}{8}.

$$-\frac{351}{8}y-\frac{507}{8}+28y=16$$

הוסף את ‎-\frac{351y}{8} ל- ‎28y.

$$-\frac{127}{8}y-\frac{507}{8}=16$$

הוסף ‎\frac{507}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{127}{8}y=\frac{635}{8}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{127}{8}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום y ב- ‎x=-\frac{9}{8}y-\frac{13}{8}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{9}{8}\left(-5\right)-\frac{13}{8}$$

הכפל את ‎-\frac{9}{8} ב- ‎-5.

$$x=\frac{45-13}{8}$$

הוסף את ‎-\frac{13}{8} ל- ‎\frac{45}{8} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8x+9y=-13,39x+28y=16$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&9\\39&28\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&9\\39&28\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\39&28\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&9\\39&28\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\39&28\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\16\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\39&28\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\39&28\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\16\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{8\times 28-9\times 39}&-\frac{9}{8\times 28-9\times 39}\\-\frac{39}{8\times 28-9\times 39}&\frac{8}{8\times 28-9\times 39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{127}&\frac{9}{127}\\\frac{39}{127}&-\frac{8}{127}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{127}\left(-13\right)+\frac{9}{127}\times 16\\\frac{39}{127}\left(-13\right)-\frac{8}{127}\times 16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8x+9y=-13,39x+28y=16$$

כדי להפוך את ‎8x ו- ‎39x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎39 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎8.

$$39\times 8x+39\times 9y=39\left(-13\right),8\times 39x+8\times 28y=8\times 16$$

פשט.

$$312x+351y=-507,312x+224y=128$$

החסר את ‎312x+224y=128 מ- ‎312x+351y=-507 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$312x-312x+351y-224y=-507-128$$

הוסף את ‎312x ל- ‎-312x. האיברים ‎312x ו- ‎-312x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$351y-224y=-507-128$$

הוסף את ‎351y ל- ‎-224y.

$$127y=-507-128$$

הוסף את ‎-507 ל- ‎-128.

$$127y=-635$$

חלק את שני האגפים ב- ‎127.

$$y=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום y ב- ‎39x+28y=16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$39x+28\left(-5\right)=16$$

הכפל את ‎28 ב- ‎-5.

$$39x-140=16$$

הוסף ‎140 לשני אגפי המשוואה.

$$39x=156$$

חלק את שני האגפים ב- ‎39.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=-5$$