פתור את {l}{8x+8y=35}{6x-6y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 8 y = 35 } \\ { 6 x - 6 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{133}{48} = 2\frac{37}{48} \approx 2.770833333$$

$$y = \frac{77}{48} = 1\frac{29}{48} \approx 1.604166667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8x+8y=35,6x-6y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8x+8y=35$$

החסר ‎8y משני אגפי המשוואה.

$$8x=-8y+35$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-8y+35\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎-8y+35.

$$x=-y+\frac{35}{8}$$

השתמש ב- ‎-y+\frac{35}{8} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-6y=7.

$$6\left(-y+\frac{35}{8}\right)-6y=7$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-y+\frac{35}{8}.

$$-6y+\frac{105}{4}-6y=7$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎-6y.

$$-12y+\frac{105}{4}=7$$

החסר ‎\frac{105}{4} משני אגפי המשוואה.

$$-12y=-\frac{77}{4}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-12.

$$y=\frac{77}{48}$$

השתמש ב- ‎\frac{77}{48} במקום y ב- ‎x=-y+\frac{35}{8}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{77}{48}+\frac{35}{8}$$

הוסף את ‎\frac{35}{8} ל- ‎-\frac{77}{48} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{133}{48}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{133}{48},y=\frac{77}{48}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8x+8y=35,6x-6y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{8\left(-6\right)-8\times 6}&-\frac{8}{8\left(-6\right)-8\times 6}\\-\frac{6}{8\left(-6\right)-8\times 6}&\frac{8}{8\left(-6\right)-8\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{1}{12}\\\frac{1}{16}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\times 35+\frac{1}{12}\times 7\\\frac{1}{16}\times 35-\frac{1}{12}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{133}{48}\\\frac{77}{48}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{133}{48},y=\frac{77}{48}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8x+8y=35,6x-6y=7$$

כדי להפוך את ‎8x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎8.

$$6\times 8x+6\times 8y=6\times 35,8\times 6x+8\left(-6\right)y=8\times 7$$

פשט.

$$48x+48y=210,48x-48y=56$$

החסר את ‎48x-48y=56 מ- ‎48x+48y=210 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$48x-48x+48y+48y=210-56$$

הוסף את ‎48x ל- ‎-48x. האיברים ‎48x ו- ‎-48x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$48y+48y=210-56$$

הוסף את ‎48y ל- ‎48y.

$$96y=210-56$$

הוסף את ‎210 ל- ‎-56.

$$96y=154$$

חלק את שני האגפים ב- ‎96.

$$y=\frac{77}{48}$$

השתמש ב- ‎\frac{77}{48} במקום y ב- ‎6x-6y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x-6\times \frac{77}{48}=7$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎\frac{77}{48}.

$$6x-\frac{77}{8}=7$$

הוסף ‎\frac{77}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$6x=\frac{133}{8}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{133}{48}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{133}{48},y=\frac{77}{48}$$