פתור את {l}{8x+4y=-4}{4x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8x+4y=-4$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$8x=-4y-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y-4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎-4y-4.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y-1}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-2y=8.

$$4\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)-2y=8$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-y-1}{2}.

$$-2y-2-2y=8$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-2y.

$$-4y-2=8$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$-4y=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=-\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5}{2} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{2}\right)-\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-\frac{5}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{5}{4}-\frac{1}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{2} ל- ‎\frac{5}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{3}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-4\times 4}&-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}&\frac{8}{8\left(-2\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\left(-4\right)+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{1}{8}\left(-4\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

כדי להפוך את ‎8x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎8.

$$4\times 8x+4\times 4y=4\left(-4\right),8\times 4x+8\left(-2\right)y=8\times 8$$

פשט.

$$32x+16y=-16,32x-16y=64$$

החסר את ‎32x-16y=64 מ- ‎32x+16y=-16 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$32x-32x+16y+16y=-16-64$$

הוסף את ‎32x ל- ‎-32x. האיברים ‎32x ו- ‎-32x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$16y+16y=-16-64$$

הוסף את ‎16y ל- ‎16y.

$$32y=-16-64$$

הוסף את ‎-16 ל- ‎-64.

$$32y=-80$$

חלק את שני האגפים ב- ‎32.

$$y=-\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5}{2} במקום y ב- ‎4x-2y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-2\left(-\frac{5}{2}\right)=8$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-\frac{5}{2}.

$$4x+5=8$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$4x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{3}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$