פתור את {l}{8x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{200}{7} = -28\frac{4}{7} \approx -28.571428571$$

$$y = \frac{545}{7} = 77\frac{6}{7} \approx 77.857142857$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8x+3y=5$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$8x=-3y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎-3y+5.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+5}{8} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}\right)+2y=70$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-3y+5}{8}.

$$-\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}+2y=70$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{8} ל- ‎2y.

$$\frac{7}{8}y+\frac{15}{8}=70$$

החסר ‎\frac{15}{8} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{8}y=\frac{545}{8}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{8}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{545}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{545}{7} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{8}\times \frac{545}{7}+\frac{5}{8}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{8} ב- ‎\frac{545}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{1635}{56}+\frac{5}{8}$$

הוסף את ‎\frac{5}{8} ל- ‎-\frac{1635}{56} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{200}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{8\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{8\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{8\times 2-3\times 3}&\frac{8}{8\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 5-\frac{3}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 5+\frac{8}{7}\times 70\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{200}{7}\\\frac{545}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

כדי להפוך את ‎8x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎8.

$$3\times 8x+3\times 3y=3\times 5,8\times 3x+8\times 2y=8\times 70$$

פשט.

$$24x+9y=15,24x+16y=560$$

החסר את ‎24x+16y=560 מ- ‎24x+9y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$24x-24x+9y-16y=15-560$$

הוסף את ‎24x ל- ‎-24x. האיברים ‎24x ו- ‎-24x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y-16y=15-560$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-16y.

$$-7y=15-560$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-560.

$$-7y=-545$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=\frac{545}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{545}{7} במקום y ב- ‎3x+2y=70. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\times \frac{545}{7}=70$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{545}{7}.

$$3x+\frac{1090}{7}=70$$

החסר ‎\frac{1090}{7} משני אגפי המשוואה.

$$3x=-\frac{600}{7}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-\frac{200}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$