פתור את {l}{8a-b=9}{4a+9b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 a - b = 9 } \\ { 4 a + 9 b = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$b=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8a-b=9$$

הוסף ‎b לשני אגפי המשוואה.

$$8a=b+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$a=\frac{1}{8}\left(b+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎b+9.

$$a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{9+b}{8} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎4a+9b=7.

$$4\left(\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}\right)+9b=7$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{9+b}{8}.

$$\frac{1}{2}b+\frac{9}{2}+9b=7$$

הוסף את ‎\frac{b}{2} ל- ‎9b.

$$\frac{19}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

החסר ‎\frac{9}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{19}{2}b=\frac{5}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{19}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$b=\frac{5}{19}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{19} במקום b ב- ‎a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=\frac{1}{8}\times \frac{5}{19}+\frac{9}{8}$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎\frac{5}{19} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=\frac{5}{152}+\frac{9}{8}$$

הוסף את ‎\frac{9}{8} ל- ‎\frac{5}{152} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=\frac{22}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{8\times 9-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{8\times 9-\left(-4\right)}&\frac{8}{8\times 9-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}&\frac{1}{76}\\-\frac{1}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}\times 9+\frac{1}{76}\times 7\\-\frac{1}{19}\times 9+\frac{2}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{5}{19}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

כדי להפוך את ‎8a ו- ‎4a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎8.

$$4\times 8a+4\left(-1\right)b=4\times 9,8\times 4a+8\times 9b=8\times 7$$

פשט.

$$32a-4b=36,32a+72b=56$$

החסר את ‎32a+72b=56 מ- ‎32a-4b=36 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$32a-32a-4b-72b=36-56$$

הוסף את ‎32a ל- ‎-32a. האיברים ‎32a ו- ‎-32a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4b-72b=36-56$$

הוסף את ‎-4b ל- ‎-72b.

$$-76b=36-56$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-56.

$$-76b=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-76.

$$b=\frac{5}{19}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{19} במקום b ב- ‎4a+9b=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$4a+9\times \frac{5}{19}=7$$

הכפל את ‎9 ב- ‎\frac{5}{19}.

$$4a+\frac{45}{19}=7$$

החסר ‎\frac{45}{19} משני אגפי המשוואה.

$$4a=\frac{88}{19}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$a=\frac{22}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$