פתור את {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$8+4x-2y=0$$

החסר ‎8 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$4x-2y=-8$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$-4x+3y=14$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-2y=-8$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=2y-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{2}-2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x+3y=14.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{y}{2}-2.

$$-2y+8+3y=14$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎3y.

$$y+8=14$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎6.

$$x=3-2$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎3.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$8+4x-2y=0$$

החסר ‎8 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$4x-2y=-8$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$-4x+3y=14$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$8+4x-2y=0$$

החסר ‎8 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$4x-2y=-8$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$-4x+3y=14$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎-4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

פשט.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

החסר את ‎-16x+12y=56 מ- ‎-16x+8y=32 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

הוסף את ‎-16x ל- ‎16x. האיברים ‎-16x ו- ‎16x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8y-12y=32-56$$

הוסף את ‎8y ל- ‎-12y.

$$-4y=32-56$$

הוסף את ‎32 ל- ‎-56.

$$-4y=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎-4x+3y=14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-4x+3\times 6=14$$

הכפל את ‎3 ב- ‎6.

$$-4x+18=14$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$-4x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=6$$