פתור את {l}{73x-7y=66}{18x+98y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 73 x - 7 y = 66 } \\ { 18 x + 98 y = 25 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{73}{80}=0.9125$$

$$y=\frac{7}{80}=0.0875$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$73x-7y=66$$

הוסף ‎7y לשני אגפי המשוואה.

$$73x=7y+66$$

חלק את שני האגפים ב- ‎73.

$$x=\frac{1}{73}\left(7y+66\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{73} ב- ‎7y+66.

$$x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}$$

השתמש ב- ‎\frac{7y+66}{73} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎18x+98y=25.

$$18\left(\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}\right)+98y=25$$

הכפל את ‎18 ב- ‎\frac{7y+66}{73}.

$$\frac{126}{73}y+\frac{1188}{73}+98y=25$$

הוסף את ‎\frac{126y}{73} ל- ‎98y.

$$\frac{7280}{73}y+\frac{1188}{73}=25$$

החסר ‎\frac{1188}{73} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{7280}{73}y=\frac{637}{73}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7280}{73}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{7}{80}$$

השתמש ב- ‎\frac{7}{80} במקום y ב- ‎x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{7}{73}\times \frac{7}{80}+\frac{66}{73}$$

הכפל את ‎\frac{7}{73} ב- ‎\frac{7}{80} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{49}{5840}+\frac{66}{73}$$

הוסף את ‎\frac{66}{73} ל- ‎\frac{49}{5840} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{73}{80}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{98}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&-\frac{-7}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\\-\frac{18}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&\frac{73}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}&\frac{1}{1040}\\-\frac{9}{3640}&\frac{73}{7280}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}\times 66+\frac{1}{1040}\times 25\\-\frac{9}{3640}\times 66+\frac{73}{7280}\times 25\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{73}{80}\\\frac{7}{80}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

כדי להפוך את ‎73x ו- ‎18x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎18 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎73.

$$18\times 73x+18\left(-7\right)y=18\times 66,73\times 18x+73\times 98y=73\times 25$$

פשט.

$$1314x-126y=1188,1314x+7154y=1825$$

החסר את ‎1314x+7154y=1825 מ- ‎1314x-126y=1188 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$1314x-1314x-126y-7154y=1188-1825$$

הוסף את ‎1314x ל- ‎-1314x. האיברים ‎1314x ו- ‎-1314x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-126y-7154y=1188-1825$$

הוסף את ‎-126y ל- ‎-7154y.

$$-7280y=1188-1825$$

הוסף את ‎1188 ל- ‎-1825.

$$-7280y=-637$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7280.

$$y=\frac{7}{80}$$

השתמש ב- ‎\frac{7}{80} במקום y ב- ‎18x+98y=25. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$18x+98\times \frac{7}{80}=25$$

הכפל את ‎98 ב- ‎\frac{7}{80}.

$$18x+\frac{343}{40}=25$$

החסר ‎\frac{343}{40} משני אגפי המשוואה.

$$18x=\frac{657}{40}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎18.

$$x=\frac{73}{80}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$