פתור את {l}{7x-2y=11}{x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 2 y = 11 } \\ { x + y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x-2y=11,x+y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x-2y=11$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$7x=2y+11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(2y+11\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎2y+11.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{11}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{2y+11}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=8.

$$\frac{2}{7}y+\frac{11}{7}+y=8$$

הוסף את ‎\frac{2y}{7} ל- ‎y.

$$\frac{9}{7}y+\frac{11}{7}=8$$

החסר ‎\frac{11}{7} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{9}{7}y=\frac{45}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{9}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{7}y+\frac{11}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{7}\times 5+\frac{11}{7}$$

הכפל את ‎\frac{2}{7} ב- ‎5.

$$x=\frac{10+11}{7}$$

הוסף את ‎\frac{11}{7} ל- ‎\frac{10}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x-2y=11,x+y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{7-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{7-\left(-2\right)}&\frac{7}{7-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{2}{9}\times 8\\-\frac{1}{9}\times 11+\frac{7}{9}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x-2y=11,x+y=8$$

כדי להפוך את ‎7x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$7x-2y=11,7x+7y=7\times 8$$

פשט.

$$7x-2y=11,7x+7y=56$$

החסר את ‎7x+7y=56 מ- ‎7x-2y=11 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$7x-7x-2y-7y=11-56$$

הוסף את ‎7x ל- ‎-7x. האיברים ‎7x ו- ‎-7x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y-7y=11-56$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-7y.

$$-9y=11-56$$

הוסף את ‎11 ל- ‎-56.

$$-9y=-45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x+y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+5=8$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=5$$