פתור את {l}{7x=y-39}{11x=y+9}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x = y - 39 } \\ { 11 x = y + 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=12$$

$$y=123$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$7x-y=-39$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$11x-y=9$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x-y=-39$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$7x=y-39$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(y-39\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎y-39.

$$x=\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-39+y}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎11x-y=9.

$$11\left(\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}\right)-y=9$$

הכפל את ‎11 ב- ‎\frac{-39+y}{7}.

$$\frac{11}{7}y-\frac{429}{7}-y=9$$

הוסף את ‎\frac{11y}{7} ל- ‎-y.

$$\frac{4}{7}y-\frac{429}{7}=9$$

הוסף ‎\frac{429}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{4}{7}y=\frac{492}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{4}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=123$$

השתמש ב- ‎123 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{7}\times 123-\frac{39}{7}$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎123.

$$x=\frac{123-39}{7}$$

הוסף את ‎-\frac{39}{7} ל- ‎\frac{123}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=12$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=12,y=123$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$7x-y=-39$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$11x-y=9$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-39\right)+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{11}{4}\left(-39\right)+\frac{7}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\123\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=12,y=123$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$7x-y=-39$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$11x-y=9$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

החסר את ‎11x-y=9 מ- ‎7x-y=-39 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$7x-11x-y+y=-39-9$$

הוסף את ‎-y ל- ‎y. האיברים ‎-y ו- ‎y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$7x-11x=-39-9$$

הוסף את ‎7x ל- ‎-11x.

$$-4x=-39-9$$

הוסף את ‎-39 ל- ‎-9.

$$-4x=-48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=12$$

השתמש ב- ‎12 במקום x ב- ‎11x-y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$11\times 12-y=9$$

הכפל את ‎11 ב- ‎12.

$$132-y=9$$

החסר ‎132 משני אגפי המשוואה.

$$-y=-123$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=123$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=12,y=123$$