פתור את {l}{7x+8y=30}{8x-5y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 30 } \\ { 8 x - 5 y = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x+8y=30$$

החסר ‎8y משני אגפי המשוואה.

$$7x=-8y+30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+30\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎-8y+30.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-8y+30}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎8x-5y=6.

$$8\left(-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}\right)-5y=6$$

הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{-8y+30}{7}.

$$-\frac{64}{7}y+\frac{240}{7}-5y=6$$

הוסף את ‎-\frac{64y}{7} ל- ‎-5y.

$$-\frac{99}{7}y+\frac{240}{7}=6$$

החסר ‎\frac{240}{7} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{99}{7}y=-\frac{198}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{99}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{30}{7}$$

הכפל את ‎-\frac{8}{7} ב- ‎2.

$$x=\frac{-16+30}{7}$$

הוסף את ‎\frac{30}{7} ל- ‎-\frac{16}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7\left(-5\right)-8\times 8}&-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}&\frac{7}{7\left(-5\right)-8\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}&\frac{8}{99}\\\frac{8}{99}&-\frac{7}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}\times 30+\frac{8}{99}\times 6\\\frac{8}{99}\times 30-\frac{7}{99}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

כדי להפוך את ‎7x ו- ‎8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$8\times 7x+8\times 8y=8\times 30,7\times 8x+7\left(-5\right)y=7\times 6$$

פשט.

$$56x+64y=240,56x-35y=42$$

החסר את ‎56x-35y=42 מ- ‎56x+64y=240 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$56x-56x+64y+35y=240-42$$

הוסף את ‎56x ל- ‎-56x. האיברים ‎56x ו- ‎-56x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$64y+35y=240-42$$

הוסף את ‎64y ל- ‎35y.

$$99y=240-42$$

הוסף את ‎240 ל- ‎-42.

$$99y=198$$

חלק את שני האגפים ב- ‎99.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎8x-5y=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$8x-5\times 2=6$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎2.

$$8x-10=6$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$8x=16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=2$$