פתור את {l}{7x+8y=15}{9x+8y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 15 } \\ { 9 x + 8 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x+8y=15$$

החסר ‎8y משני אגפי המשוואה.

$$7x=-8y+15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+15\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎-8y+15.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-8y+15}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎9x+8y=1.

$$9\left(-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}\right)+8y=1$$

הכפל את ‎9 ב- ‎\frac{-8y+15}{7}.

$$-\frac{72}{7}y+\frac{135}{7}+8y=1$$

הוסף את ‎-\frac{72y}{7} ל- ‎8y.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{135}{7}=1$$

החסר ‎\frac{135}{7} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{16}{7}y=-\frac{128}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{16}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{8}{7}\times 8+\frac{15}{7}$$

הכפל את ‎-\frac{8}{7} ב- ‎8.

$$x=\frac{-64+15}{7}$$

הוסף את ‎\frac{15}{7} ל- ‎-\frac{64}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-7,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 9}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 9}\\-\frac{9}{7\times 8-8\times 9}&\frac{7}{7\times 8-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}&-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}\times 15-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-7,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

החסר את ‎9x+8y=1 מ- ‎7x+8y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$7x-9x+8y-8y=15-1$$

הוסף את ‎8y ל- ‎-8y. האיברים ‎8y ו- ‎-8y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$7x-9x=15-1$$

הוסף את ‎7x ל- ‎-9x.

$$-2x=15-1$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-1.

$$-2x=14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-7$$

השתמש ב- ‎-7 במקום x ב- ‎9x+8y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$9\left(-7\right)+8y=1$$

הכפל את ‎9 ב- ‎-7.

$$-63+8y=1$$

הוסף ‎63 לשני אגפי המשוואה.

$$8y=64$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$y=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-7,y=8$$